A、根据等式的性质1，在等式2x-1=3的左右两边同时加上1，可得2x=4，故本选项正确；
B、在等式x²=x的左右两边同时除以x，可得x=1，但是当x=0时，不成立，故本选项错误；
C、将等式x²=9左右两边开平方，可得x=±3，故本选项错误；
D、根据等式的性质1，在等式2x-1=3x的左右两边同时加上（3x+1），可得5x=6x+1，故本选项错误．
故选A．