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数学
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已知圆C:x
2
+y
2
-2x+4y-4=0,是否存在斜率为1的直线l,使l被圆C截得的弦长AB为直径的圆过原点,若存在求出直线的方程l,若不存在说明理由.
人气:251 ℃ 时间:2020-04-15 08:25:28
解答
圆C化成标准方程为(x-1)
2
+(y+2)
2
=9,假设存在以AB为直径的圆M,圆心M的坐标为(a,b).
∵CM⊥l,即k
CM
•k
l
=
b+2
a−1
×1=-1
∴b=-a-1
∴直线l的方程为y-b=x-a,即x-y-2a-1=0
∴|CM|
2
=(
|1+2−2a−1|
2
)
2
=2(1-a)
2
∴|MB|
2
=|CB|
2
-|CM|
2
=-2a
2
+4a+7
∵|MB|=|OM|
∴-2a
2
+4a+7=a
2
+b
2
,得a=-1或
3
2
,
当a=
3
2
时,b=-
5
2
,此时直线l的方程为x-y-4=0
当a=-1时,b=0,此时直线l的方程为x-y+1=0
故这样的直线l是存在的,方程为x-y-4=0或x-y+1=0.
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