△ABC的三边a、b、c和面积S满足关系式:S=c2-(a-b)2且a+b=2,求面积S的最大值.
人气:254 ℃ 时间:2019-08-21 20:54:49
解答
由余弦定理c
2=a
2+b
2-2abcosC及面积公式S=
absinC代入条件得
S=c
2-(a-b)
2=a
2+b
2-2abcosC-(a-b)
2,即
absinC=2ab(1-cosC),
∴
=
,令1-cosC=k,sinC=4k(k>0)
由(1-k)
2+(4k)
2=cos
2C+sin
2C=1,得k=
,
∴sinC=4k=
∵a>0,b>0,且a+b=2,
∴S=
absinC=
ab≤
•
=
,当且仅当a=b=1时,S
max=
.
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