设

e

，

AB

的夹角为θ
过C作CM⊥AB，垂足为M，则AB=2AM
由过点A的直线与圆相切，结合弦切角定理可得∠DAB=∠ACM=θ
∵在直角三角形AMC中，由三角函数的定义可得，sin∠ACM=sinθ＝

AM

3

∴AM=3sinθ，AB=6sinθ
∵

e

•

AB

=|

e

||

AB

|cosθ=|AB|cosθ=6sinθcosθ=3sin2θ≤3
当sin2θ=1即θ=45°时取等号
故答案为：3