（1）当m=2时，y=（x-2）²，
则G（2，0），
∵点P的横坐标为4，且P在抛物线上，
∴将x=4代入抛物线解析式得：y=（4-2）²=4，
∴P（4，4），
如图，连接QG、PG，过点Q作QF⊥x轴于F，过点P作PE⊥x轴于E，
依题意，可得△GQF≌△PGE；
则FQ=EG=2，FG=EP=4，
∴FO=2．
∴Q（-2，2）．

（2）已知Q（a，b），则GE=QF=b，FG=m-a；
由（1）知：PE=FG=m-a，GE=QF=b，即P（m+b，m-a），
代入原抛物线的解析式中，得：m-a=（m+b）²-2m（m+b）+m²
m-a=m²+b²+2mb-2m²-2mb+m²
a=m-b²，
故用含m，b的代数式表示a：a=m-b²．
（3）如图，延长QC到点E，使CE=CQ，连接OE；
∵C为OD中点，
∴OC=CD，
∵∠ECO=∠QCD，
∴△ECO≌△QCD，
∴OE=DQ=m；
∵AQ=2QC，
∴AQ=QE，
∵QO平分∠AQC，
∴∠1=∠2，
∴△AQO≌△EQO，
∴AO=EO=m，
∴A（0，m），
∵A（0，m）在新图象上，
∴0=m-m²
∴m₁=1，m₂=0（舍），
∴m=1．