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数学
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计算∫∫∑(1/r^2)dS,其中∑是x^2+y^2=R^2被z=0及z=H所截部分,r是原点到柱面上的点
r是原点到柱面上的点的距离
答案是2pai 乘以arctan(H/R)
人气:478 ℃ 时间:2020-02-06 10:48:38
解答
r^2=R^2+z^2,∑在yoz平面的投影为矩形:z从0到H,y从-R到R
由于dS=√(1+y^2/(R^2-y^2))dydz=R/√(R^2-y^2))dydz
由对称性(∑在yoz平面的投影要计算2个)
∫∫∑(1/r^2)dS
=2R∫(0,H)(1/(R^2+z^2)dS∫(-R,R)1/√(R^2-y^2))dy
=2arctan(z/R)|(0,H)arcsin(y/R)|(-R,R)
=2πarctan(H/R)
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