令f(x) =ax^3+bx^2+cx+d(a>0).
先用导数确定f(x)是否有极值,若无极值,则f(x)在R递增,原方程有且只有一个实根；
若有极值(必为一极大一极小),则当f(x)的极大值小于0或f(x)的极小值大于0时,原方程有且只有一个实根,当f(x)的极大值等于0或f(x)的极小值等于0时,原方程有且只有两个不同的实根,当f(x)的极大值大于0且f(x)的极小值小于0时,原方程有且只有三个实根.
注：a非也！是判断原函数否有极值(当然其中也要考虑是否有导函数〉0 、=0、 <0)。其实，任何一元方程的实根都相当于某函数图象与x轴交点的横坐标，因此，当方程的根不好直接求出而只须判断根的个数时，通常作出函数的图象进行观察，而图象不是熟知函数的图象时，往往又通过导数探讨出函数的单调性、极值等，从而确定图象的走势，画出示意图后再观察交点个数。当然，有时也可用“二分法”判断。