−1＝sinx+cosx＝

2

sin(x+

π

4

)⇒sin(x+

π

4

)＝−

2

2

⇒x+

π

4

＝2kπ−

π

4

或2kπ−

3π

4

，k∈Z
所以x＝2kπ−

π

2

或2kπ-π，则sinx=-1，cosx=0或sinx=0，cosx=-1，
故sin²⁰⁰⁹x+cos²⁰¹¹x=（-1）²⁰⁰⁹+0²⁰¹¹=-1或sin²⁰⁰⁹x+cos²⁰¹¹x=0²⁰⁰⁹+（-1）²⁰¹¹=-1．
故选C．