数列 (13 10:2:46)
已知数列{an}满足:a1=1,a2=1/2,且a(n+2)=(a(n+1))^2/an+a(n+1)(n属于自然数)
求数列{an}的通项公式
人气:162 ℃ 时间:2020-03-27 02:49:50
解答
a(n+2)=(a(n+1))^2/an+a(n+1)
即:ana(n+2)+a(n+1)a(n+2)
=(a(n+1))²
在两边同时除以a(n+1)a(n+2)即有:
an/a(n+1) + 1 = a(n+1)/a(n+2)
所以构造一新数列Cn=an/a(n+1)
所以有:Cn+1=C(n+1)
且C1=a1/a2=2
即数列Cn为一以2为首项,1为公差的等差数列.
所以易得Cn=n+1 (n∈N*)
即an/a(n+1)=n+1 (n∈N*)
所以an-1/an * an-2/an-1 * ……* a1/a2
=n*(n-1)*……2
即:a1/an=n*(n-1)*……2
所以:an=1/(1*2*……*n)
其中(n∈N*)
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