在Rt△ABC中,已知∠A=90°,BC=a,若长为2a的线段PQ以点A为中点,则向量PQ与向量BC的夹角取何值时,向量BP·向量CQ的值最大?求出这个最大值.
【说明】向量AB记为「AB」
以A为原点,AB、AC所在射线为x、y轴正方向建立直角坐标系,则A(0,0),
设B(c,0),C(0,b),P(p,q),则Q(-p,-q),显然,b²+c²=a² ① p²+q²=a² ② ,
「PQ」=(-2p,-2q),「BC」=(-c,b),「PQ」与「BC」的夹角设为θ,
则cosθ=「PQ」·「BC」/[|PQ|*|BC|]=(2pc-2bq)/(2a²) ③
「BP」=(p-c,q),「CQ」=(-p,-q-b),
「BP」·「CQ」=(p-c)(-p)+(q)(-q-b)=-(p²+q²)+(pc-bq),
由②③得：「BP」·「CQ」=-a²+a²cosθ=a²(cosθ-1)
所以当θ=90°时,「BP」·「CQ」取得最大值0