设β是非齐次线性方程组Ax=b的一个解,α1,α2,...,αn-r是对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系,证明β,α1,α2,_数学解答

设β是非齐次线性方程组Ax=b的一个解,α1,α2,...,αn-r是对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系,
证明β,α1,α2,...,αn-r线性无关.（线性代数,

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解答

证:设 k1α1+k2α2+.,+kn-rαn-r+kβ = 0.(*)用A左乘等式两边得k1Aα1+k2Aα2+.,+kn-rAαn-r+kAβ = 0.由已知 β是非齐次线性方程组Ax=b的解,α1,α2,...,αn-r是Ax=0的解,所以 Aαi=0,i=1,2,...,n-r,Aβ = b所以有 ...