已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在y轴上,长轴长为4,离心率为二分之根号三.过点P(0,1)的直线l交椭圆C于A,B两点,求三角形_数学解答

已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在y轴上,长轴长为4,离心率为二分之根号三.
过点P(0,1)的直线l交椭圆C于A,B两点,求三角形AOB的面积的最大值.

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解答

a=2
c=a*√3/2=√3
故b=√(4-3)=1
且焦点在y轴上
故椭圆方程为x^2 + y^2/4=1
设直线方程为y=kx+1
联立得(k^2+4)x^2+2kx-3=0
作OH⊥AB
故弦长AB=4*√(k^2+1)*√(k^2+3)/(k^2+4)
椭圆中心到直线距离OH=1/√(k^2+1)
S△AOB=1/2*AB*OH=2√(k^2+3)/(k^2+4)