设f(x)是定义在正实数集上的函数,并且对任意的正实数xy,恒有f(xy)=f(x)+f(y)成立
求证
(1) f(1/x)=-f(x)
(2) 若n属于正实数集,则f(x/n)=f(x)-f(n)
人气:216 ℃ 时间:2019-08-19 02:13:08
解答
证明:
(1)
由于:f(xy)=f(x)+f(y)
则:令x=y=1
则有:
f(1*1)=f(1)+f(1)
f(1)=2f(1)
则:f(1)=0
再令:y=1/x
则有:
f[x*(1/x)]=f(x)+f(1/x)
f(1)=f(x)+f(1/x)
又:f(1)=0
则:
0=f(x)+f(1/x)
f(1/x)=-f(x)
(2)由于:
n属于正实数集
则:(1/n)属于正实数集
则有:
f[x/n]+f(n)=f[(x/n)*n]
即:
f(x/n)=f(x)-f(n)
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