已知椭圆x2/4+y2/3=1和直线y=4x+m,如果椭圆上总存在两点A、B关于直线对称,求m的范围
关于这道题的解法,我看到网上有好多.但是我要的是对一个小地方的解释:首先,我已求出AB与其垂直平分线的交点的横坐标与纵坐标的关系,是3x=y.接下来算的就跟标准的不一样了:因为-2<x<2,3x=y,所以可以把(x,3x)代入y=4x+m中,求得m=-y/3.最后我就导出了-2<m<2.肿么回事.
人气:245 ℃ 时间:2019-11-09 03:00:31
解答
把(x,3x)代入y=4x+m中,得
3x=4x+m,m=-x
又-2<x<2,
∴-2<m<2.
可以吗?重新做一下.直线l:y=4x+m的垂线是y=-x/4+b,①把①代入椭圆方程得3x^2+4[(1/16)x^2-bx/2+b^2]=12,整理得(13/4)x^2-2bx+4b^2-12=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=8b/13,则AB的中点M的坐标:x=(x1+x2)/2=4b/13,代入①,y=12b/13,点M在l上,∴12b/13=16b/13+m,m=-4b/13,b=-13m/4,M(-m,-3m),点M在椭圆内,∴m^2/4+3m^2<=1,m^2<=4/13,∴-2√13/13<=m<=2√13/13,为所求.
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