Hilbert空间是Banach空间的一种,是带内积的.
Hilbert空间给出的是内积,这个内积决定了一个范数,即：x的范数定义为x和自身的内积.这样Hilbert空间自然成为Banach空间.
容易说明,由内积所定义的范数满足平行四边形等式,即||a+b||+||a-b|| = 2 (||a|| +||b||).所以不满足平行四边形等式的范数所给出的Banach空间无法成为Hilbert空间.