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数学
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已知函数f(x)=alnx-bx
2
图象上一点P(2,f(2))处的切线方程为y=-3x+2ln2+2,若方程f(x)+m=0在区间[
1
e
,e]内有两个不等实根,则实数m的取值范围是______(其中e为自然对数的底数).
人气:187 ℃ 时间:2019-08-17 19:31:06
解答
函数f(x)=alnx-bx
2
的导数f′(x)=
a
x
-2bx,
由切线方程得f′(2)=
a
2
-4b,f(2)=aln2-4b.
∴
a
2
-4b=-3,且aln2-4b=-6+2ln2+2=2ln2-4.
解得a=2,b=1.
则f(x)=2lnx-x
2
,令h(x)=f(x)+m=2lnx-x
2
+m,
则h′(x)=
2
x
-2x,令h'(x)=0,得x=1(x=-1舍去).
在[
1
e
,e]内,当x∈[
1
e
,1)时,h'(x)>0,即h(x)是增函数;
当x∈(1,e]时,h'(x)<0,即h(x)是减函数.
则方程h(x)=0在[
1
e
,e]内有两个不等实根的充要条件是
h(
1
e
)≤0
h(1)>0
h(e)≤0
,
即1<m≤2+
1
e
2
.
故答案为:(1,2+
1
e
2
].
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