不存在最大值.
对任意A > 1,可取x = 1/A,y = (A-1)/(2A).
则1/x+1/y > 1/x = A.
即1/x+1/y的取值可大于任意给定的正数.
再附一个最小值的求法:
1/x+1/y = (x+2y)(1/x+1/y) = 1+2+x/y+2y/x ≥ 3+2√((x/y)(2y/x)) = 3+2√2.
当且仅当x/y = 2y/x时等号成立,解得x = √2-1,y = (2-√2)/2时取得最小值.是存在最大值的。把x用y的式子代替，之后变成二次函数的样子。如果条件没写错, 真的是没有最大值的.上面已经给出了证明.随便取一个很大的数, 例如10^1000,总存在满足条件的x, y使得1/x+1/y > 10^1000.想要完全变成二次函数是不可能的, 分母是去不掉的.其实我觉得也没有最大值。答案上是3-2√2，求帮忙看看题目会不会是求1/(1/x+1/y)的最大值?上面求出来1/x+1/y的最小值3+2√2. 因此1/(1/x+1/y)的最大值是1/(3+2√2) = 3-2√2.貌似题目没错还有一种可能, 范围是x < 0, y > 0, 此时1/x+1/y有最大值.1/x+1/y = (1/x+1/y)(x+2y) = 3+x/y+2y/x.x/y, 2y/x < 0, 故-x/y, -2y/x > 0.由均值不等式-x/y-2y/x ≥ 2√((-x/y)(-2y/x)) = 2√2.于是x/y+2y/x ≤ -2√2, 1/x+1/y = 3+x/y+2y/x ≤ 3-2√2.