高等代数,矩阵运算证明
A,B,C,D都为nxn矩阵,A的行列式不为0,AC=CA,证:G的行列式=H的行列式,其中G为2x2分块矩阵,G11=A,G12=B,G21=C,G22=D,H为1x1分块矩阵,H11=AD-CB
人气:196 ℃ 时间:2020-05-16 14:59:44
解答
实际上无论A是否可逆,只要满足AC=CA,均有|A,B;C,D|=|AD-CB|,A可逆时直接利用初等变换,A不可逆时利用下扰动法即可
(1)A可逆时:
[I,0;-CA^(-1),I]乘[A,B;C,D]=[A,B;0,-CA^(-1)B+D].两边取行列式,|A,B;C,D|=|A||D-CA^(-1)B|=|AD-ACA^(-1)B|=|AD-CAA^(-1)B|=|AD-CB|
(2)A不可逆时:令A1=A+tI,则|A1|=f(t)=t^n+…+|A|(n次多项式),设t1为f(t)最小正根,则对于任意的t属于(0,t1),均有f(t)不等于0,即A1可逆,用A1代换(1)中的A,可得|A1,B;C,D|=|A1D-CB|,令t趋于0,即得|A,B;C,D|=|AD-CB|
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