∵x²+x+2＞0，
∴不等式

kx2+kx+6

x2+x+2

＞2可转化为
kx²+kx+6＞2（x²+x+2）．
即（k-2）x²+（k-2）x+2＞0．
当k=2时，不等式恒成立．
当k≠2时，不等式（k-2）x²+（k-2）x+2＞0恒成立等价于

k−2＞0 △＝(k−2)2−8(k−2)＜0

．
解得2＜k＜10．
∴实数k的取值范围是（2，10）．