若对于任意的正实数x,y,总有f(xy)=f(x) f(y).求证f(1/x)=-f(x)
若对于任意的正实数x,y,总有f(xy)=f(x) f(y).
求证:
(1)f(1)=0
(2)f(x^2)=2f(x)
(3)f(1/x)=-f(x)
(4)f(x/y)=f(x)-f(y)
人气:143 ℃ 时间:2019-10-11 16:20:19
解答
题应该为:若对于任意的正实数x,y,总有f(xy)=f(x)+f(y).
证明
(1) 对于任意的正实数x,y均成立
所以令x=y=1
则f(1)=f(1)+f(1).
所以 f(1)=0
(2)令x=y
则f(x^2)=f(x)+f(x).
所以 f(x^2)=2f(x)
(3)f[(1/x)x]=f(1/x)+f(x)=f(1)
因为 f(1)=0
所以f(1/x)+f(x)=0
所以 f(1/x)=-f(x)
(4)f(x/y)=f(x)+f(1/y)
因为 f(1/x)=-f(x)即f(1/y)=-f(y)
所以 f(x/y)=f(x)-f(y)
抽象函数,一般通过赋值法证明
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