设正有理数a,b,c满足条件：a+b+c≤4且ab+bc+ca≥4.试证明：下面的三个不等式中至少有两个成立：（a-c)的绝对值≤_数学解答

设正有理数a,b,c满足条件：a+b+c≤4且ab+bc+ca≥4.试证明：下面的三个不等式中至少有两个成立：（a-c)的绝
对值≤2；（c-a)的绝对值≤2；（b-c)的绝对值≤2.

人气：131 ℃　时间：2019-11-14 07:53:27

解答

a,b,c>0,16>=(a+b+c)^2=(a^2+b^2+c^2)+2(ab+bc+ac)>=(a^2+b^2+c^2)+8,a^2+b^2+c^2=2,(|a-b|^2+|b-c|^2+|a-c|^2)=2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ac)=|b-c|^2+|a-c|^2>4+4=8,矛盾,所以至少有两个成立