∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=CO=BO=DO，
∵∠AOB=60°，
∴△ABO是等边三角形，
∴AB=BO，∠BAC=60°，
∴∠BCA=30°，
设AB=xcm，则AC=2xcm，
∴BC=

AC2−AB2

=

3

xcm，
∵矩形面积为12

3

cm²，
∴AB•BC=x•

3

x=12

3

，
x=2

3

cm．
故答案为：2

3

．