依题意，得a+b=0，即a=-b．
A中，n为奇数，aⁿ+bⁿ=0；n为偶数，aⁿ+bⁿ=2aⁿ，错误；
B中，a²ⁿ+b²ⁿ=2a²ⁿ，错误；
C中，a²ⁿ⁺¹+b²ⁿ⁺¹=0，正确；
D中，a^2n-1-b^2n-1=2a^2n-1，错误．
故选C．