(1)当m=0时,f(x)=-x
3+x
2+x.
∴f′(x)=-3x
2+2x+1=
−3(x+)(x−1).
列表如下:
由表可知:函数f(x)=-x
3+x
2+x在区间[-
,1]上单调递增,在
(−∞,−)和(1,+∞)上单调递减.
∴f(x)的极小值为
f(−)=-
,
极大值为ƒ(1)=1.
(2)由(1)知,当x=-
时,
f(x)取得极小值
f(−)= +−+m=m−,
当x=1时,f(x)取得极大值
f(1)=-1+1+1+m=m+1,
当
,即-1<m<
时,
f(-1)=1+1-1+m=m+1>0,
f(−)=m-
<0,
f(1)=m+1>0,f(2)=m-2<0,
∴f(x)=-x
3+x
2+m在
[−1,−]上有唯一零点.
在
(−,1]上有唯一零点,在(1,2]上有唯一零点.又f(x)=-x
3+x
2+x+m在(-∞,-1]上单调递减,
在[2,+∞]上单调递减,∴在(-∞,-1]上恒有ƒf(x)≥f(-1)>0,在[2,+∞)上恒有f(x)≤f(2)<0.
∴f(x)=-x
3+x
2+x+m-在(-∞,-1]和[2,+∞)上无零点.∴-1<m<
时,函数f(x)=-x
3+x
2+x+m在有三个零点,
∴所求实数m的取值范围是
(−1,).