空间中不共面的四个定点构成三棱锥，如图：三棱锥D-ABC，
平面α到三棱锥D-ABC的四个定点距离相等，分成两类：
一类是：当平面一侧有一点，另一侧有三点时，即对此三棱锥进行换低，则三棱锥由四种表示形式，
此时满足条件的平面个数是四个，
另一类是：当平面一侧有两点，另一侧有两点时，即构成的直线是三棱锥的相对棱，因三棱锥的相对棱有三对，
则此时满足条件的平面个数是三个，
综上所述，满足条件的平面共有7个，
故答案为：7．