证明：如图，

作DE⊥BC于点E，
∵∠A=90°，BD是角平分线，
∴AD=DE，
在△ABD和△EBD中，

AD＝DE BD＝BD

∴△ABD≌△EBD
∴AB=BE，
∵BC=BE+CE，BC=AB+AD
∴CE=DE，
∴∠C=45°，
∴∠ABC=45°，
∴AB=AC．