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数学
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如图,已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形,AB∥CD,AC⊥BD,垂足为H,PH是四棱锥的高.
(Ⅰ)证明:平面PAC⊥平面PBD;
(Ⅱ)若
AB=
6
,∠APB=∠ADB=60°,求四棱锥P-ABCD的体积.
人气:384 ℃ 时间:2020-07-31 00:53:32
解答
(1)因为PH是四棱锥P-ABCD的高.
所以AC⊥PH,又AC⊥BD,PH,BD都在平PHD内,且PH∩BD=H.
所以AC⊥平面PBD.
故平面PAC⊥平面PBD(6分)
(2)因为ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AC⊥BD,AB=
6
.
所以HA=HB=
3
.
因为∠APB=∠ADB=60°
所以PA=PB=
6
,HD=HC=1.
可得PH=
3
.
等腰梯形ABCD的面积为S=
1
2
ACxBD=2+
3
(9分)
所以四棱锥的体积为V=
1
3
×(2+
3
)×
3
=
3+2
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