设圆锥的底面半径为r、高为h、母线为l，
∵圆锥轴截面是面积为

3

的等边三角形，
∴l=2r且S=

1

2

×2r×h=

3

，
解得r=1，h=

3

且l=2．
因此这个圆锥的全面积为
S=S_底+S_侧=πr²+πrl=π×1²+π×1×2=3π．
故选：A