假设存在，则说明x⁴+px²+q能被x²+2x+5整除，
可设另一个因式是x²+mx+n，
∴（x²+2x+5）（x²+mx+n）=x⁴+px²+q，
即有
x⁴+（m+2）x³+（n+2m+5）x²+（2n+5m）x+5n=x⁴+px²+q，
∴

m+2＝0 n+2m+5＝p

且

2n+5m＝0 5n＝q

解上面的方程组，得

m＝−2 n＝5 p＝6 q＝25

，
∴存在常数p、q使得x⁴+px²+q能被x²+2x+5整除．
故所求p=6，q=25．