①777×9+37×111，
=111×7×9+37×111，
=111×（63+37），
=111×100，
=111000；
②

1

2

+

3

4

+…+

511

512

，
=1-

1

2

+1-

1

4

+1-

1

8

+…+1-

1

512

，
=9-（

1

2

+

1

4

+…+

1

512

），
=9+1-

1

512

，
=10-

1

512

，
=9

511

512

；
③0.9+0.99+0.999+…+0.

99…9

2010个9

，
=1-0.1+1-0.01+1-0.001+…+1-0.00001 （2009个0），
=2010-（0.1+0.01+0.001+0.0001+…+0.00001 （2009个0），
=2010-0.11111…1（小数点后2010个1），
=2009.88888…889（小数点后2009个8）；
④20092010×20102009-20092009×20102010，
=（2009×10000+2010）×（2010×10000+2009）-（2009×10000+2009）×（2010×10000+2010），
=2009×2010×100000000+2009×10000×2009+2010×2010×10000+2010×2009-（2009×2010×100000000+2009×10000×2010+2009×2010×10000+2009×2010），
=2009×10000×（-1）+1×2010×10000，（注意上式第1项和第4项相同抵消了）
=（2010-2009）×10000，
=10000；