∵直线y=kx-3k+4=k（x-3）+4，
∴k（x-3）=y-4，
∵k有无数个值，
∴x-3=0，y-4=0，解得x=3，y=4，
∴直线必过点D（3，4），
∴最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦，
∵点D的坐标是（3，4），
∴OD=5，
∵以原点O为圆心的圆过点A（13，0），
∴圆的半径为13，
∴OB=13，
∴BD=12，
∴BC的长的最小值为24；
故答案为：24．