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数学
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证明已过抛物线的焦点的弦为直径的圆和抛物线的准线相切
人气:269 ℃ 时间:2019-08-22 13:55:44
解答
如图,设F为抛物线的焦点,l为抛物线的准线,
AB为抛物线的一条焦点弦,M为AB的中点,
过A、B、M分别作准线的垂线,垂足分别为E、C、D,
则由抛物线的定义知:
|AE|=|FA|,|BC|=|FB|,
∴|AB|=|FA|+|FB|,
即|AB|=|AE|+|CD|,
又由梯形的中位线性质知:
|MD|=1 /2 (|AE|+|CD|),
∴|MD|=1 /2 |AB|,
即以弦AB为直径的圆的圆心M到准线l的距离
等于半径,即以弦AB为直径的圆与准线l相切.
所以,以过抛物线的焦点的弦为直径的圆和抛物线的准线相切.
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