直线（1+3m）x+（3-2m）y+8m-12=0可化为
（3x-2y+8）m+（x+3y-12）=0
令3x-2y+8=0且x+3y-12=0
解得x=0，y=4，
即直线（1+3m）x+（3-2m）y+8m-12=0恒过（0，4）点
将（0，4）点代入圆x²+y²-2x-6y+1=0得
x²+y²-2x-6y+1=-7＜0
即该点在圆内，故直线（1+3m）x+（3-2m）y+8m-12=0（m∈R）与圆x²+y²-2x-6y+1=0的公共点个数2个
故选C