根据梅涅劳斯定理,因为FOC为△ABD的截线,所以(AF/BF)*(BC/DC)*(DO/OA)=1,即AF/BF=(OA/OD)*(DC/BC);
同理,BOE为△ADC的截线,所以(AE/EC)*(CB/DB)*(DO/OA)=1,即AE/EC=(OA/DO)*(BD/BC)
将得到的两式相加,则得到：AE/EC+AF/FB=(AO/DO)*(DC/BC+BD/BC),DC+BD=BC,所以得AE/EC+AF/FB=AO/OD
好吧,可以再告诉你一种方法：
过A作BC的平行线l,延长BO与l交于M,则因为AM‖BC,∴AE/EC=AM/BC;延长CO与l交于N,则∵AN‖BC,∴AF/FB=AN/BC;将以上两式相加,得：AF/FB+AE/EC=MN/BC；又∵MN‖BC,∴MN/BC=MO/OB,同样∵AM‖BD,∴OM/BO=AO/OD.则得证AF/FB+AE/EC=AO/OD
(不过如果想把平面几何学得更好,学习一点著名定理也没有坏处：）