已知椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的离心率为√2/2,过点B(0,-2)及左焦点F1的直线交椭圆于C,D两点,右焦点设为F2.1.求椭圆的方程.2,求△CDF2的面积
人气:463 ℃ 时间:2020-04-05 17:09:22
解答
(1)∵椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的一个顶点为A(0,1),
离心率为√2/2,
∴b=√a^2−c^2=1,且c/a=√2/2,
解之得a=√2,c=1
可得椭圆的方程为
x^2/2 +y^2=1;
(2)∵左焦点F1(-1,0),B(0,-2),得F1B直线的斜率为-2
∴直线F1B的方程为y=-2x-2
由y=−2x−2
x^2/2+y^2=1,
化简得9x^2+16x+6=0.
∵△=162-4×9×6=40>0,
∴直线与椭圆有两个公共点,设为C(x1,y1),D(x2,y2),
则
x1+x2=−16/9
x1•x2=2/3
∴|CD|=√1+(−2)^2|x1-x2|=√5 *√[(x1+x2)^2-4x1x2]
=√5 *√[(-16/9)^2-4*2/3]=10√2/9
又∵点F2到直线BF1的距离d=|−2−2|/√5=4√5/5,
∴△CDF2的面积为S=1/2|CD|×d
=1/2 * 10√2/9 * 4√5/5
=4√10/9
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