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数学
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在锐角三角形中,三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c,满足条件sin
2
2B+sin2BsinB+cos2B=1.
(Ⅰ)求∠B的值;
(Ⅱ)若b=3,求a+c的最大值.
人气:466 ℃ 时间:2020-06-23 12:15:15
解答
(1)∵sin
2
2B+sin2BsinB+cos2B=1,∴4sin
2
Bcos
2
B+2sin
2
BcosB-2sin
2
B=0,
即2sin
2
B(2cosB-1)(cosB+1)=0.
又△ABC为锐角三角形,∴2cosB-1=0,即∠B=
π
3
.
(Ⅱ)若b=3,由上可得∠B=
π
3
,由余弦定理可得 cosB=
a
2
+
c
2
−
b
2
2ac
=
1
2
,
∴b
2
=9=a
2
+c
2
-2ac×
1
2
=(a+c)
2
-3ac≥(a+c)
2
-
3
4
(a+c)
2
=
(
a+c
2
)
2
,
∴a+c≤6,即a+c的最大值为6.
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