1.8 2.√（2/3）ln（√2+√3） 3.-5/27第二第三求详解……2.记s（x）=∑（n从1到正无穷）2^n*x^(2n-1)/(3^n(2n-1))，所以s'(x)=∑（n从1到正无穷）2^n*x^(2n-2)/3^n，从而x²s'(x)=∑（n从1到正无穷）2^n*x^(2n)/3^n=∑（n从1到正无穷）（2/3x²）^n=2/3x²/（1-2/3x²）=2x²/（3-2x²），所以s'(x)=2/（3-x²）。两边积分，得s（x）=√2/（2√3）ln|（√2x+√3）/（√2x-√3）|，令x=1，得s（1）=√（2/3）ln（√2+√3），所以原无穷级数的和为√（2/3）ln（√2+√3）3.s（x）=∑（n从1到正无穷）(-1)^n* (n^2-n+1)*x^n/2^n=∑（n从1到正无穷）(-1)^n *(n^2-n)*x^n/2^n+∑（n从1到正无穷）（-1）^n*x^n/2^n=∑（n从2到正无穷）(-1)^n *n(n-1)*x^n/2^n+∑（n从1到正无穷）（-1）^n*x^n/2^n=s1(x)+s2(x)对于s1（x），有s1（x）/x=∑（n从2到正无穷）(-1)^n*n(n-1)*x^(n-1)/2^n，两边在0～x上积分，得∫（0～x）s1（x）/xdx=∑（n从2到正无穷）(-1)^n*（n-1）*x^n/2^n，所以（∫（0～x）s1（x）/xdx）/x²=∑（n从2到正无穷）(-1)^n*（n-1）*x^(n-2)/2^n，两边在0～x上积分，得∫（0～x）（∫（0～x）s1（x）/xdx）/x²）dx=∑（n从2到正无穷）（-1）^n*x^(n-1)/2^n，所以x∫（0～x）（∫（0～x）s1（x）/xdx）/x²）dx=∑（n从2到正无穷）（-1）^n*x^n/2^n=∑（n从2到正无穷）（-1/2x）^n=(-1/2x)^2/(1+1/2x)=x^2/(4+2x)，所以∫（0～x）（∫（0～x）s1（x）/xdx）/x²）dx=x/（4+2x），两边求导得（∫（0～x）s1（x）/xdx）/x²=1/（x+2）²，即∫（0～x）s1（x）/xdx=x²/（x+2）²，两边再求导得s1(x)/x=4x/（x+2）³，即s1(x)=4x²/（x+2）³，所以s1(1)=4/27；对于s2(x)，有s2(1)=∑（n从1到正无穷）（-1）^n/2^n=∑（n从1到正无穷）（-1/2）^n=-1/3，所以s（1）=s1(1)+s2(1)=4/27-1/3=-5/27