x |
∴h′(x)=
1 | ||
2
|
a |
x |
| ||
2x |
①当a>0时,令h′(x)=0,解得x=4a2,
∴当0<x<4a2时,h′(x)<0,h(x)在(0,4a2)上递减;
当x>4a2时,h′(x)>0,h(x)在(4a2,+∞)上递增.
∴x=4a2是h(x)在(0,+∞)上的唯一极值点,
且是极小值点,从而也是h(x)的最小值点.
∴最小值φ(a)=h(4a2)=2a-aln 4a2=2a(1-ln 2a).
②当a≤0时,h′(x)=
| ||
2x |
故h(x)的最小值为φ(a)=2a(1-ln 2a)(a>0).
(2)由(1)知φ(a)=2a(1-ln 2a),(a>0).
则φ′(a)=-2ln 2a,令φ′(a)=0,解得a=
1 |
2 |
当0<a<
1 |
2 |
1 |
2 |
当a>
1 |
2 |
1 |
2 |
∴φ(a)在a=
1 |
2 |
1 |
2 |
∵φ(a)在(0,+∞)上有且只有一个极值点,
所以φ(
1 |
2 |
∴当a∈(0,+∞)时,总有φ(a)≤1.