微分方程题目.垂直于x轴的动直线与过原点的曲线y=y（x）（x≥0,y≥0）以及x轴围成一个以[0,x]为底边的曲边梯形,其面积为_数学解答

微分方程题目.
垂直于x轴的动直线与过原点的曲线y=y（x）（x≥0,y≥0）以及x轴围成一个以[0,x]为底边的曲边梯形,其面积为y^3（x）.
函数y（x）所满足的微分方程是什么?
函数y（x）的隐函数形式是什么?

人气：150 ℃　时间：2020-03-23 22:34:18

解答

由积分,可知曲边梯形的面积y³=∫[0,x]ydx,这里y满足y(0)=0
上式两边对x求导得3y²y'=y
∴y(x)满足的微分方程是3y²y'-y=0,y(0)=0
=>y(3yy'-1)=0,∴y=0或3yy'=1
=>3ydy=dx
=>∫3ydy=∫dx
=>3y²/2=x+C,带入y(0)=0,得C=0
∴y(x)的隐函数形式是3y²=2x,x≥0