小伙,题目写错了吧,∠C=π/2,怎么可能有：AC=AB呢?应该是：|AC|=|BC|=2
过程省去向量2字：
AM=AC+CM,BN=BC+CN,故：AM·BN=(AC+CM)·(BC+CN)=AC·BC+CM·CN+AC·CN+CM·BC
因为△ABC是直角三角形,且∠C=π/2,故：AC·BC=0,又线段MN是直径,故：
CM=-CN,且：CM·CN=|CM|*|CN|*cos(π)=-1,故：AM·BN=-1+AC·CN-CN·BC=-1+CN·(AC-BC)
又：CA-CB=BA,故：AC-BC=AB,故上式=-1+CN·AB=-1+|CN|*|AB|*cos
=-1+2sqrt(2)cos,当：cos=1,即：CN与AB同向时,上式取得最大值：
2sqrt(2)-1,此时线段MN与边AB平行.