证明如果A是s*n阶矩阵,则AtA特征值均为非负实数
人气:105 ℃ 时间:2020-01-25 21:52:07
解答
(该结论仅限于实数范围,复数的需要把转置改成共轭转置)
由于AtA是对称矩阵((AtA)t=AtA)),而对称阵是半正定的当且仅当它的特征值均为非负实数,从而只需证明这个矩阵是半正定的,那么任取n维向量x,xt(AtA)x=(xtAt)(Ax)=(Ax)t(Ax),它是(Ax)和自身的内积,显然它非负,它=0当且仅当Ax=0,这说明AtA是半正定的,从而它的特征值均为非负实数.
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