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数学
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在平面直角坐标系xOy中,已知P是函数f(x)=e
x
(x>0)的图象上的动点,该图象在点P处的切线l交y轴于点M,过点P作l的垂线交y轴于点N,设线段MN的中点的纵坐标为t,则t的最大值是______.
人气:138 ℃ 时间:2020-01-27 13:17:48
解答
设切点坐标为(m,e
m
)
∴该图象在点P处的切线l的方程为y-e
m
=e
m
(x-m)
令x=0,解得y=(1-m)e
m
过点P作l的垂线的切线方程为y-e
m
=-e
-m
(x-m)
令x=0,解得y=e
m
+me
-m
∴线段MN的中点的纵坐标为t=
1
2
[(2-m)e
m
+me
-m
]
t'=
1
2
[-e
m
+(2-m)e
m
+e
-m
-me
-m
],令t'=0解得:m=1
当m∈(0,1)时,t'>0,当m∈(1,+∞)时,t'<0
∴当m=1时t取最大值
1
2
(e+
e
−1
)
故答案为:
1
2
(e+
e
−1
)
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