证明：（1）当n=1时，4^2×1+1+3¹⁺²=91能被13整除
（2）假设当n=k时，4^2k+1+3^k+2能被13整除，则当n=k+1时，
4^2（k+1）+1+3^k+3=4^2k+1•4²+3^k+2•3-4^2k+1•3+4^2k+1•3
=4^2k+1•13+3•（4^2k+1+3^k+2）
∵4^2k+1•13能被13整除，4^2k+1+3^k+2能被13整除
∴当n=k+1时也成立
由①②知，当n∈N^*时，4²ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺²能被13整除