已知数列{a
n}的前n项和为S
n,a
1=-
,S
n+
=a
n-2(n≥2,n∈N)
(1)求S
2,S
3,S
4的值;
(2)猜想S
n的表达式;并用数学归纳法加以证明.
人气:424 ℃ 时间:2020-05-26 10:15:28
解答
(1)S
1=a
1=-
,∵S
n+
=a
n-2(n≥2,n∈N),令n=2可得
,S
2+
=a
2-2=S
2-a
1-2,∴
=
-2,∴S
2=-
.
同理可求得 S
3=-
,S
4=-
.
(2)猜想S
n =-
,n∈N
+,下边用数学归纳法证明:
①当n=2时,S
2=a
1+a
2=-
,猜想成立.
②假设当n=k时猜想成立,即S
K=-
.
则当n=k+1时,∵S
n+
=a
n-2,∴
SK+1+=ak+1−2,
∴
SK+1+=SK+1−SK−2,∴
=
-2=
,
∴S
K+1=-
,∴当n=k+1时,猜想仍然成立.
综合①②可得,猜想对任意正整数都成立,即 S
n =-
,n∈N
+成立.
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