f '(tanx+1)=cos²x+sec²x=1/(1+tan²x)+1+tan²x
令t=tanx+1,则tanx=t-1
f '(t)=1/[1+(t-1)²]+1+(t-1)²
两端同时积分得
f(t)=∫1/[1+(t-1)²]dt +∫[1+(t-1)²]dt
=arctan(t-1)+t+(t-1)³/3+C
把f(1)=2代入得
0+1+0+C=2,解得C=1
故f(x)=arctan(x-1)+x+(x-1)³/3+1