求函数奇偶性定义在r上的函数f x 对任意的x y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)+1成立求证：已知F(x)=f(x)+1_数学解答

求函数奇偶性
定义在r上的函数f x 对任意的x y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)+1成立
求证：已知F(x)=f(x)+1,求证：F(x)为奇函数

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解答

令y=0
f(x)=f(x)+f(0)+1
所以f(0)=-1
令y=-x
则f(0)=f(x)+f(-x)+1
所以f(x)+f(-x)=-2
所以F(x)+F(-x)
=f(x)+1+f(-x)+1
=[f(x)+f(-x)]+2
=-2+2
=0
所以 F(-x)=-F(x)
所以F(x)是奇函数