设切点为P（x₀，y₀），
对y=x³-a求导数是y'=3x²，∴3x₀²=3．∴x₀=±1．
（1）当x=1时，
∵P（x₀，y₀）在y=3x+1上，
∴y=3×1+1=4，即P（1，4）．
又P（1，4）也在y=x³-a上，
∴4=1³-a．∴a=-3．
（2）当x=-1时，
∵P（x₀，y₀）在y=3x+1上，
∴y=3×（-1）+1=-2，即P（-1，-2）．
又P（-1，-2）也在y=x³-a上，
∴-2=（-1）³-a．∴a=1．
综上可知，实数a的值为-3或1．