首先,证明G为DF中点：
连接BD,过E点做BD的垂线EH交BD于D.
因为BG为角平分线,EC和EH分别为到两条边的距离,故而EH=EC,又因为CE=CF,所以EH=EC=CF,因为∠BDC=45°,所以直角三角形DHE为等腰直角三角形.
故EH=HD.所以CF=HD,所以BD=CF,等腰三角形BDF中,角平分线三线合一,故而BG也为等腰三角形BDF的中线,所以G为DF中点.连接OG,故而DF=2DG
然后,求正方形边长.
设边长AB=a
则BH=BC=a,又因为BD=√2a.所以DH=HE=EC=CF=√2a-a=（√2-1）a
在直角三角形DCF中,DC平方+CF平方=DF平方=（2DG）平方=4DG平方=4（4-2√2）.
DC平方=a^2,CF平方=[（√2-1）a]^2.
所以：左边：DC平方+CF平方=a^2+[（√2-1）a]^2=（4-2√2)a^2
右边=4（4-2√2）.所以a^2=4,a=2.正方形ABCD面积为a^2=4.