1.∵双曲线C的顶点为A（0,√2）
∴设双曲线C的方程为y²/2 - x²/b²=1 ,则其中一条渐近线为y=(√2/b)x
∵点A（0,√2）关于一条渐近线的对称点是B（√2,0）
∴AB的中点（√2/2 ,√2/2）在这条渐近线上
∴√2/2=(√2/b)*(√2/2)
√2/b=1
b=√2
∴双曲线C的方程为y²/2 - x²/2=1
2.∵直线的斜率为2且过点B（√2,0）
∴直线的方程为：y=2x - 2√2
与双曲线C的方程y²/2 - x²/2=1联立,可解得点M,N的坐标
则|MN|=2√70/3