N=19.
20,21,22,23,24,25,26,27,28
由690=2*3*5*23可知
690有因子2,3,5,23,如果N+1,N+2,……,N+9与690有大于1的公约数,则公约数必是2,3,5,23之一,连续10个整数中必有能被2,3,5整除的数,在最前面的自然数中,如7,11,13,17,19这些素数不能出现在这10个数中,由于690有因子有23,所以这10个数中可能含有23,取含有23的最小连续的10个整数尝试,19不能取,从20开始,取20-28的数,恰好满足条件.